Krogla

Krógla je v matematiki okroglo simetrično telo. Točke krogle so od središča oddaljene največ za polmer.

Enačba krogle s polmerom R in središčem v izhodišču koordinatnega sistema je:

Njeno površje (krogelno lupino) imenujemo sfera.

Stožec

Beseda stožec običajno označuje pokončni krožni stožec - to je telo, ki je omejeno s krogom (osnovna ploskev) in krivo ploskvijo v obliki krožnega izseka (plašč). Pokončni krožni stožec je rotacijsko simetričen glede na premico, ki jo imenujemo os stožca, in ima enako dolge stranice (stranske robove).

Spodnja slika predstavlja mrežo (pokončnega krožnega) stožca:

Razgrnjen plašč ima obliko krožnega izseka. Dolžina krožnega loka v izseku mora biti enaka obsegu kroga, ki predstavlja osnovno ploskev.

Presek stožca z ravnino, ki vsebuje os, imenujemo osni presek stožca. Osni presek (pokončnega krožnega) stožca je enakokraki trikotnik. Stožec, ki ima za osni presek enakostranični trikotnik, imenujemo enakostranični stožec.

Če plašč stožca presekamo z ravninami v različnih legah, dobimo krivulje, ki jih imenujemo stožnice.

Poševni krožni stožec ima za osnovno ploskev krog, vendar pa ni rotacijsko simetričen (vrh ne leži točno nad središčem osnovne ploskve).

Prostornina poljubnega stožca:

Površina poljubnega stožca:

Prostornina pokončnega krožnega stožca:

Površina pokončnega krožnega stožca:

Razlaga:

O = ploščina osnovne ploskve

pl = površina plašča

r = polmer osnovne ploskve

v = višina stožca

s = stranica stožca:

Valj

 Valj je okroglo geometrijsko telo. Omejen je z dvema skladnima in vzporednima krogoma ter eno krivo ploskvijo. Kroga sta osnovni ploskvi valja, kriva stranska ploskev pa je plašč valja. Premica, ki poteka skozi središče osnovnih ploskev je os valja. Središči osnovnih ploskev po navadi označimo s S₁ in S₂.

Valj nima oglišč, ima pa dva osnovna roba. Osnovni rob valja je krožnica, ki omejuje krog. Valj nima stranskih robov. Daljica na plašču valja, ki je vzporedna z osjo, je stranica valja. Označimo jo s črko s.

Če je os valja pravokotna na osnovno ploskev, je valj pokončen, drugače pa je poševen.

 Višina valja je razdalja med osnovnima ploskvama. Pri poševnem valju je stranica daljša od višine valja, pri pokončnem valju pa je stranica enako dolga kot njegova višina.

Enakostranični valji so tisti, kjer sta premer in višina enaka.

Mrežo valja sestavljajo dve osnovni ploskvi in plašč. Osnovni ploskvi valja sta skladna kroga. Plašč, razgrnjen v ravnino, pa ima obliko pravokotnika s stranicama 2pir in v.

Če valj presekamo z ravnino, ki poteka skozi središči obeh krogov (po osi), nastane osni presek. Osni presek je pravokotnik. Ena od stranic tega pravokotnika je premer osnovne ploskve valja, druga stranica pravokotnika pa je višina valja.

Telesa, nastala z vrtenjem lika okrog premice, ki je nosilka ene od stranic ali pa somernica lika, imenujemo vrtenine.

 Površina valja je enaka skupni ploščini obeh osnovnih ploskev in plašča: P = 2O + pl.

Ploščino plašča izračunamo z obrazcem pl = 2pir + v.

Prostornino valja določimo s preoblikovanjem.

Valj razrežemo na poljubno majhne tristrane prizme. Iz vseh prizem sestavimo štiristrano prizmo. S preoblikovanjem se ploščina osnovne ploskve ni spremenila, tudi višina valja je ostala enaka. Valj in sestavljena prizma imata enaki prostornini.

Prostornina valja je torej enaka produktu osnovne ploskve in višine valja.

V = O x v. Ta obrazec velja tudi za poševni valj. (Nič ne dodamo in nič ne odvzamemo).

V = pir² x v.

Valj nastane tudi, če pravokotnik vrtimo okoli somernic.

Piramida

Piramida je polieder omejen z osnovno ploskvijo in plaščem. Osnovna ploskev je poljuben večkotnik, plašč pa je sestavljen iz trikotnikov, ki povezujejo osnovno ploskev s točko, ki jo imenujemo vrh piramide.

Robovi osnovne ploskve so osnovni robovi piramide, ostali robovi so stranski robovi.
Višina piramide je oddaljenost vrha od osnovne ploskve. Višina kot daljica poteka od vrha do ravnine osnovne ploskve in je na to ravnino pravokotna.

Piramida, ki ima za osnovno ploskev n-kotnik, je n-strana piramida.
Enakoroba piramida ima vse robove enako dolge.
Pravilna n-strana piramida ima za osnovno ploskev pravilni n-kotnik in ima vse stranske robove enako dolge.

(Opomba: Pogosto srečamo tudi pojem pokončna piramida, vendar ta pojem ni povsod enako definiran. Ponavadi velja, da je piramida pokončna, če leži spodnje krajišče višine v središču osnovne ploskve. Obstajajo pa različni možni odgovori na vprašanje, kaj je središče osnovne ploskve. Izberemo lahko npr.:
(a) središče očrtane krožnice - ne obstaja vedno, če pa obstaja, so vsi stranski robovi enako dolgi, a piramida lahko stoji "postrani";
(b) težišče - obstaja vedno, a včasih ni "lepa" točka;
(c) središče včrtane krožnice, ipd.
Piramida, ki ni pokončna, je poševna.)

Zgled:
  

Prostornina in površina piramide
Če označimo:
O = ploščina osnovne ploskve,
 v = višina piramide,
pl = plašč (vsota ploščin vseh trikotnikov, ki sestavljajo plašč),
potem veljata za prostornino in površino piramide formuli:
  V = O v

  P = O + pl

Kot vidimo iz formule za prostornino, velja tretjinsko pravilo:
Prostornina piramide je tretjina prostornine prizme z enako osnovno ploskvijo in enako višino.

Kvader

Kvader je oglato geometrijsko telo, ki ga omejuje šest mejnih ploskev. Po dve in dve mejni ploskvi sta skladna in vzporedna pravokotnika. Kvader ima 12 robov in 8 oglišč. Dve ploskvi sta osnovni ploskvi (ploskev na kateri kvader stoji in njej vzporedna ploskev), druge štiri pa tvorijo plašč kvadra (oznaka pl). Kvader ima tri skupine s po 4 skladnimi in vzporednimi robovi. Zato kvader določajo trije značilni robovi: dolžina, širina in višina.Navadno jih označimo po vrsti z a, b in c.

Ploskovna diagonala je daljica, ki povezuje dve nasprotni oglišči iste ploskve, na primer AC, BG, CF, označujemo jo z d1.Telesna diagonala je daljica, ki povezuje dve oglišči različnih ploskev, na primer AC, BH, DF, označimo jo z d in so med seboj skladne.
Diagonalni presek kvadra je presek kvadra z ravnino, ki gre skozi nesosednja robova. Kvader ima tri različno velike diagonalne preseke.

Kocka

Kocka
Klikni tukaj za animirano kocko.
Tip	platonsko telo
Ploskev	kvadrat
Št. ploskev	6
Robov	12
Oglišč	8
Št. ploskev v oglišču	3
Št. robov na ploskev	4
Simetrijska grupa	oktaedrska (Oh)
Dualni polieder	oktaeder
Lastnosti	pravilno telo, konveksno telo, zonoeder

Kocka  je pravilni polieder omejen s šestimi kvadrati. Kocka je eno od petih platonskih teles in je dualno telo oktaederu. Kocka je poseben primer prizme, pravokotnega paralelepipeda ali kvadra.

Ima dve osnovni ploskvi, druge štiri pa tvorijo plašč (oznaka pl). Kocka ima dvanajst skladnih robov in osem oglišč. Vsi njeni robovi so enako dolgi, označimo pa jih z malo črko a.

Mrežo kocke sestavlja 6 kvadratov. Dobimo jo, če vse ploskve razgrnemo v ravnino. Obstaja več načinov razporeditve ploskev v mreži (11).

Posamezni kvadrat, ki je mejna ploskev kocke, ima ploščino a². Površina kocke je velikost vseh mejnih ploskev (P = 6a²).

Kocka z robom a ima prostornino V in 

površino P

V=a*a*a

P=6*a*a