Geometrijska telesa

Krogla

Krógla je v matematiki okroglo simetrično telo. Točke krogle so od središča oddaljene največ za polmer.

Enačba krogle s polmerom R in središčem v izhodišču koordinatnega sistema je:

x^{2}+y^{2}+z^{2} \le R^{2} \!\, .

Njeno površje (krogelno lupino) imenujemo sfera.

Beseda stožec običajno označuje pokončni krožni stožec - to je telo, ki je omejeno s krogom (osnovna ploskev) in krivo ploskvijo v obliki krožnega izseka (plašč). Pokončni krožni stožec je rotacijsko simetričen glede na premico, ki jo imenujemo os stožca, in ima enako dolge stranice (stranske robove).

Spodnja slika predstavlja mrežo (pokončnega krožnega) stožca:

Razgrnjen plašč ima obliko krožnega izseka. Dolžina krožnega loka v izseku mora biti enaka obsegu kroga, ki predstavlja osnovno ploskev.

Presek stožca z ravnino, ki vsebuje os, imenujemo osni presek stožca. Osni presek (pokončnega krožnega) stožca je enakokraki trikotnik. Stožec, ki ima za osni presek enakostranični trikotnik, imenujemo enakostranični stožec.

Če plašč stožca presekamo z ravninami v različnih legah, dobimo krivulje, ki jih imenujemo stožnice.

Poševni krožni stožec ima za osnovno ploskev krog, vendar pa ni rotacijsko simetričen (vrh ne leži točno nad središčem osnovne ploskve).

Prostornina poljubnega stožca:

V=\frac{1}{3}\mathcal{O}v

Površina poljubnega stožca:

P=\mathcal{O}+pl

Prostornina pokončnega krožnega stožca:

V=\frac{1}{3}\pi r^2 v

Površina pokončnega krožnega stožca:

P=\pi r^2 + \pi r s\!\,

Razlaga:

O = ploščina osnovne ploskve

pl = površina plašča

r = polmer osnovne ploskve

v = višina stožca

s = stranica stožca:

s=\sqrt{r^2+v^2}

Valj

Valj je okroglo geometrijsko telo. Omejen je z dvema skladnima in vzporednima krogoma ter eno krivo ploskvijo. Kroga sta osnovni ploskvi valja, kriva stranska ploskev pa je plašč valja. Premica, ki poteka skozi središče osnovnih ploskev je os valja. Središči osnovnih ploskev po navadi označimo s S₁ in S₂.

Valj nima oglišč, ima pa dva osnovna roba. Osnovni rob valja je krožnica, ki omejuje krog. Valj nima stranskih robov. Daljica na plašču valja, ki je vzporedna z osjo, je stranica valja. Označimo jo s črko s.

Če je os valja pravokotna na osnovno ploskev, je valj pokončen, drugače pa je poševen.

Višina valja je razdalja med osnovnima ploskvama. Pri poševnem valju je stranica daljša od višine valja, pri pokončnem valju pa je stranica enako dolga kot njegova višina.

Enakostranični valji so tisti, kjer sta premer in višina enaka.

Mrežo valja sestavljajo dve osnovni ploskvi in plašč. Osnovni ploskvi valja sta skladna kroga. Plašč, razgrnjen v ravnino, pa ima obliko pravokotnika s stranicama 2pir in v.

Če valj presekamo z ravnino, ki poteka skozi središči obeh krogov (po osi), nastane osni presek. Osni presek je pravokotnik. Ena od stranic tega pravokotnika je premer osnovne ploskve valja, druga stranica pravokotnika pa je višina valja.

Telesa, nastala z vrtenjem lika okrog premice, ki je nosilka ene od stranic ali pa somernica lika, imenujemo vrtenine.

Površina valja je enaka skupni ploščini obeh osnovnih ploskev in plašča: P = 2O + pl.

Ploščino plašča izračunamo z obrazcem pl = 2pir + v.

Prostornino valja določimo s preoblikovanjem.

Valj razrežemo na poljubno majhne tristrane prizme. Iz vseh prizem sestavimo štiristrano prizmo. S preoblikovanjem se ploščina osnovne ploskve ni spremenila, tudi višina valja je ostala enaka. Valj in sestavljena prizma imata enaki prostornini.

Prostornina valja je torej enaka produktu osnovne ploskve in višine valja.

V = O x v. Ta obrazec velja tudi za poševni valj. (Nič ne dodamo in nič ne odvzamemo).

V = pir² x v.

Valj nastane tudi, če pravokotnik vrtimo okoli somernic.

sobota, 14. maj 2016

Krogla

Stožec

Valj